Question

设函数f（x）在区间[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且∫(a,b)f(x)dx=f(b)(b-a).证明：在(a,

Answer 1

∫(a,b)f(x)dx=F(b)-F(b)

因此

∫(a,b)f(x)dx=f(b)(b-a)[F(b)-F(a)]/(b-a)=f(b)

由拉克朗日定理,存在ξ使：

[F(b)-F(a)]/(b-a)=f(ξ)

ξ∈(a,b)

b>ξ>a

=>f(ξ)=f(b)

由l罗尔定理,存在ζ∈(ξ,b)使

f′(ζ)=0

ζ∈(ξ,b)=>ζ∈(a,b)因为ζ>ξ

【改】

∫(a,b)f(x)dx=f(b)(b-a).

由积分中值定理

∫(a,b)f(x)dx=f(β)(b-a).

β∈（a,b）

所以f(β)=f(b)

由罗尔定理

f′(α)=0 α属于（β,b）

也就属于（a,b）

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