Question

设数列{an}的各项都是正数，Sn是其前n项和，且对任意n∈N*都有an2=2Sn-an．

Answer 1

解题思路：（1）当n=1时，可求得a₁，由a_n²=2S_n-a_n⇒

a

n+1

2

=2S_n+1-a_n+1，两式相减，可得a_n+1-a_n=1，从而可证数列{a_n}是等差数列，于是可求数列{a_n}的通项公式；

（2）由（1）知，b_n=（2n+1）•2ⁿ，T_n=b₁+b₂+…+b_n=3×2+5×2²+…+（2n+1）•2ⁿ，利用错位相减法即可求得T_n．

（1）∵a_n²=2S_n-a_n，

∴当n=1时，a12=2a₁-a₁，即a12=a₁，

∵a₁＞0，a₁=1…1分

又an+12=2S_n+1-a_n+1，

∴an+12-an2=2（S_n+1-S_n）-a_n+1+a_n，

即（a_n+1-a_n）（a_n+1+a_n）=a_n+1+a_n，{a_n}的各项都是正数，

∴a_n+1-a_n=1…4分

∴数列{a_n}是1为首项，公差为1的等差数列，

∴a_n=n…6分

（2）由（1）知，b_n=（2n+1）2an=（2n+1）•2ⁿ，

∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=3×2+5×2²+…+（2n+1）•2ⁿ①

∴2T_n=3×2²+5×2³+…+（2n-1）×2ⁿ+（2n+1）•2ⁿ⁺¹②…8分

①-②得：-T_n=3×2+2×2²+2×2³+…+2×2ⁿ-（2n+1）•2ⁿ⁺¹

=6-（2n+1）•2ⁿ⁺¹+

23(1-2n-1)

1-2

=-（2n-1）•2ⁿ⁺¹-2，

∴T_n=（2n-1）•2ⁿ⁺¹=2…12分

点评：

本题考点： 数列的求和；数列的概念及简单表示法．

考点点评： 本题考查数列的求和，着重考查等差数列的判定及其通项公式的应用，突出考查错位相减法求和，属于中档题．