Question

已知数列{a n }为公差不为零的等差数列，a 1 =1，各项均为正数的等比数列{b n }的第1项、第3项、第5项分别

Answer 1

（1）设数列{a _n}的公差为d，数列{b _n}的公比为q

由题意，得 a 3 2 = a 1 • a 21 ，

即（a ₁+2d） ²=a ₁（a ₁+20d），解之得d=4（舍去0）

∴a _n=1+（n-1）×4=4n-3

而{b _n}的首项b ₁=a ₁=1，公比满足q ²=

a 3

a 1 =

9

1 =9，得q=3

∴b _n=b ₁×3 ^n-1=3 ^n-1

综上所述，数列{a _n}与{b _n}的通项公式分别为a _n=4n-3、b _n=3 ^n-1；

（2）由（1）得a _nb _n=（4n-3）×3 ^n-1

∴S _n=1×1+5×3 ¹+9×3 ²+…+（4n-7）×3 ^n-2+（4n-3）×3 ^n-1…①

两边都乘以9，得

3S _n=1×3 ¹+5×3 ²+9×3 ³+…+（4n-7）×3 ^n-1+（4n-3）×3 ⁿ…②

①-②，得-2S _n=1+4（3 ¹+3 ²+…+3 ^n-1）-（4n-3）×3 ⁿ

=4×

3(1- 3 n-1 )

1-3 +1-（4n-3）×3 ⁿ=（5-4n）×3 ⁿ-5

∴数列{a _nb _n}的前n项和S _n=

1

2 [（4n-5）×3 ⁿ+5]