Question

△ABC的三边a、b、c和面积S满足关系式：S=c 2 -（a-b） 2 且a+b=2，求面积S的最大值．

Answer 1

由余弦定理c ²=a ²+b ²-2abcosC及面积公式S=

1

2 absinC代入条件得

S=c ²-（a-b） ²=a ²+b ²-2abcosC-（a-b） ²，即

1

2 absinC=2ab（1-cosC），

∴

1-cosC

sinC =

1

4 ，令1-cosC=k，sinC=4k（k＞0）

由（1-k） ²+（4k） ²=cos ²C+sin ²C=1，得k=

2

17 ，

∴sinC=4k=

8

17

∵a＞0，b＞0，且a+b=2，

∴S=

1

2 absinC=

4

17 ab≤

4

17 •

(a+b) 2

2 =

4

17 ，当且仅当a=b=1时，S _max=

4

17