(2008•普陀区二模)已知点E,F的坐标分别是(-2,0)、(2,0),直线EP,FP相交于点P,且它们的斜率之积为−

1个回答

  • 解题思路:(1)由已知中点E,F的坐标分别是(-2,0)、(2,0),直线EP,FP相交于点P,且它们的斜率之积为

    1

    4

    .我们设出P(x,y),进而得到x,y之间的关系式,整理后即可得到点P的轨迹方程.

    (2)设直线AB的方程为y=kx,A(x1,kx1),则B(-x1,-kx1),联立直线和椭圆的方程,我们可得

    x

    2

    4

    1+4

    k

    2

    ,利用弦定公式,求出AB的长,利用点到直线公式,求出M点直线AB的距离求出AB边的高,可以得到△MAB面积的表达式,进而求出△MAB面积m的取值范围,得到△MAB面积m的,代入可求出对应的k值.

    (3)设M(1,4),根据(2)的计算办法,我们易求出,△MAB的面积取得最大值时,并求出此进kOM及kAB的值,验证后,可得猜想不成立.

    证明:(1)设P(x,y),由直线PE,PF的斜率均存在可知,x≠±2

    由题意可得,KPE•KPF=

    y

    x+2•

    y

    x−2=−

    1

    4

    整理可得,

    x2

    4+y2=1(x≠±2)

    点P的轨迹为椭圆C:

    x2

    4+y2=1上

    (2)设直线AB的方程为y=kx,A(x1,kx1),则B(-x1,-kx1

    联立方程y=kx与

    x2

    4+y2=1

    整理可得x2=

    4

    1+4k2

    AB=2OA=2

    (1+k2)x12 =4

    1+k2

    1+4k2

    ∵M(1,

    1

    2)到直线AB的距离d=

    |k−

    1

    2|

    1+k2

    S△MAB=

    1

    2AB•d=

    1

    2×4

    点评:

    本题考点: 直线与圆锥曲线的综合问题.

    考点点评: 本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的综合问题,其中(1)的关键是分别求出两条直线的斜率,进而得到P点横、纵坐标的关系式,(2)的关键是得到△MAB面积的表达式,(3)中正面证明比较麻烦,可以举出一反例,推反前面的猜想.