Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，设AC=b，BC=a，CD=h，AB=c，下面有3个命题：（1

Answer 1

解题思路：（1）先根据勾股定理用a、b表示出AB的长，再由S_△ABC=[1/2]AC•BC=[1/2]AB•CD解答即可；

（2）先证（3）a+b，h，c+h为边的三角形是直角三角形成立，再由三角形的三边关系求解；

（3）先分别求出（a+b）²，h²，（c+h）²的值，再根据勾股定理的逆定理进行判断即可．

（1）∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AC=b，BC=a，CD=h，AB=c，

∴c=

a2+b2，

∴S_△ABC=

1/2]ab=[1/2]ch，

∴h=[ab/c]，h²=

a2b2

c2，

∴[1

h2=

c2

a2b2，即

1

h2=

a2+b2

a2b2=

1

a2+

1

b2，故（1）正确；

（2）∵

1/2]ab=[1/2]ch，

∴ab=ch，即a²b²=c²h²，

∴（a+b）²-a²-b²=（c+h）²-c²-h²，

∴（c+h）²-（a+b）²=c²-a²-b²+h²，

∵a²+b²=c²，

∴（c+h）²-（a+b）²=h²，

∵h＞0，且a b c h均为线段．

∴a＞0，b＞0，c＞0，h＞0，

∴c+h＞a+b，故（3）正确；

（3）∵（c+h）²=c²+2ch+h²；

h²+（a+b）²=h²+a²+2ab+b²，a²+b²=c²（勾股定理），ab=ch（面积公式推导），

∴c²+2ch+h²=h²+a²+2ab+b²，

∴（c+h）²=h²+（a+b）²，

∴根据勾股定理的逆定理知道以h，c+h，a+b为边构成的三角形是直角三角形，故正确．

故选D．

点评：

本题考点： 勾股定理的逆定理；直角三角形的性质．

考点点评： 本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积公式，熟知勾股定理的逆定理是解答此题的关键．