Question

sinx/x的无穷级数 怎么得到 1/n^2的无穷级数等于pi^2/6

Answer 1

这个推导不太严谨..但让我们不得不佩服欧拉大神啊...

首先展开sinx/x=1-x^2/3!+x^4/5!+.

然后利用sinx/x的零点,容易知零点为nπ

所以sinx/x=(1-x/π)(1+x/π)(1-x/2π)(1+x/2π)+.=(1-x^2/π^2)(1-x^2/4π^2).(1-x^2/n^2π^2)

比较展开式和上式中x^2的系数得

-x^2(1+1/4+1/9+.1/n^2)/π^2=-x^2/3!

所以1+1/4+1/9+.1/n^2=π^2/6