已知数列{a n }的前n项和为S n ,且对任意n∈N * 有a n +S n =n.

1个回答

  • (1)证明见解析(2)c n= (

    ) n

    (1)证明 由a 1+S 1=1及a 1=S 1得a 1=

    .

    又由a n+S n=n及a n+1+S n+1=n+1得

    a n+1-a n+a n+1=1,∴2a n+1=a n+1.

    ∴2(a n+1-1)=a n-1,即2b n+1=b n.

    ∴数列{b n}是以b 1=a 1-1=-

    为首项,

    为公比的等比数列. 6分

    (2)解 方法一 由(1)知2a n+1=a n+1.

    ∴2a n=a n-1+1 (n≥2), 8分

    ∴2a n+1-2a n=a n-a n-1,

    ∴2c n+1=c n(n≥2).

    又c 1=a 1=

    ,a 2+a 1+a 2=2,∴a 2=

    .

    ∴c 2=

    -

    =

    ,即c 2=

    c 1.

    ∴数列{c n}是首项为

    ,公比为

    的等比数列. 12分

    ∴c n=

    ·(

    ) n-1=(

    ) n. 14分

    方法二 由(1)b n=(-

    )·(

    ) n-1=-(

    ) n.

    ∴a n=-(

    ) n+1.

    ∴c n=-(

    )

    +1-

    =

    -

    =

    =

    (n≥2). 12分

    又c 1=a 1=

    也适合上式,∴c n=

    . 14分