Question

已知：O是坐标原点，P（m，n）（m＞0）是函数y= （k＞0）上的点，过点P作直线PA⊥OP于P，直线PA与x轴的正半

Answer 1

过点P作PQ⊥x轴于Q，则PQ=n，OQ=m，

（1）当n=1时，s=

，∴a=

=

．

∴A（

，0）

（2）解法一：

∵OP=AP，PA⊥OP，

∴△OPA是等腰直角三角形．

∴m=n=

．

∴1+

=

an．

即n ⁴﹣4n ²+4=0，

∴k ²﹣4k+4=0，

∴k=2．

解法二：

∵OP=AP，PA⊥OP，

∴△OPA是等腰直角三角形．

∴m=n．

设△OPQ的面积为s ₁
则：s ₁=

×

mn=

（1+

），

即：n ⁴﹣4n ²+4=0，

∴k ²﹣4k+4=0，

∴k=2．

（3）

∵PA⊥OP，PQ⊥OA，

∴△OPQ∽△OAP．

设：△OPQ的面积为s ₁，则

=

即：

=

化简得：

2n ⁴+2k ²﹣kn ⁴﹣4k=0

（k﹣2）（2k﹣n4）=0，

∴k=2或k=

（舍去），

∴当n是小于20的整数时，k=2．

∵OP ²=n ²+m ²=n ²+

又m＞0，k=2，

∴n是大于0且小于20的整数．

当n=1时，OP ²=5，

当n=2时，OP ²=5，

当n=3时，OP ²=3 ²+

=9+

=

，

当n是大于3且小于20的整数时，

即当n=4、5、6…19时，OP ²的值分别是：

42+

、52+

、62+

…192+

，

∵192+

＞182+

＞32+

＞5，

∴OP ²的最小值是5．