第一题：由定义法可知,当x1＜x2时,f(x2)-f(x1)=2^(x2）+(x2)³ -2^(x1）-(x1)³ =2^(x1)(2^(x2-x1)-1)+((x2)³ -(x1)³).因2^(x2-x1)-1＞0,(x2)³ -(x1)³＞0,所以f(x2)-f(x1)＞0,所以f(x)是增函数.
第二题：(1)令y=1,则f(x+1)-f(1)=x(x+3).因f(1)=0,所以f(x+1)=x(x+3).令y=x+1,则x=y-1,所以f(y)=(y-1)(y+2).所以f(0)=-1*2=-2
(2)因f(x)=(x-1)(x+2)=x^2+x-2,所以x^2+x+1＜2x+a,即a＞x^2-x+1=(x-1/2)^2+3/4.令g(x)=(x-1/2)^2+3/4,因当0≤x≤½时,g(x)单调减,所以当x=0时,g(x)取得最大值1.因当0≤x≤½时,a＞g(x)恒成立,所以a＞1,即实数a的取值范围是（1,+∞).