1.用无穷小量:
cos(x)=1-(x^2)/2+o(x^2),(x->0时)
有lim(n->∞)(cos(π/√n ))^n=(1-π^2/(2n)+o(π^2/n))^n=e^(-π^2/2).
3.|sin(n!)|∞)|nsin(n!)/(n^2+1)|∞)n/(n^2+1)=0.
因此lim(n->∞)nsin(n!)/(n^2+1)=0.
4.sinx 在x=a处Taylor展开:
lim(x->a)(sinx/sina)^(1/(x-a))=lim(x->a)(1+cosa(x-a)/sina+o(x-a))^(1/(x-a))=e^(cota).
5.lim(x->1)(1-x)tan(πx/2)=lim(x->1)(1-x)(sin(πx/2))/cos(πx/2).分子分母为0/0型,在这里利用L`hospital法则得:π/2.
6.f的定义域为R,把所有可能的奇点先找出得:x=1,x=-1,为可能奇点.x=1时f(1)不存在,故f在x=1处不连续,x=-1时,因:lim(x->-1)f(x)=lim(x->-1)(x+1)arctan(1/(x^2-1))=0.因此f在x=-1处连续,综上f只存在唯一的不连续点(x=1是第一类间断点).
你下面的fn(x)=(1-(g(x))^(n+1))/(1-g(x)).因此,如果fn(x)收敛,那么必然有|g(x)|