Question

已知椭圆E的中心在坐标原点O，两个焦点分别为A（-1，0），B（1，0），一个顶点为H（2，0）．（1）求椭圆E

Answer 1

（1）由题意得，c=1，a=2，则b=

3

故所求的椭圆标准方程为

x 2

4 +

y 2

3 =1 ；

（2）设M（x ₀，y ₀）（x ₀≠±2），则

x 0 2

4 +

y 0 2

3 =1 ①

又由P（t，0），H（2，0）．则

MP =(t- x 0 ，- y 0 ) ，

MH =(2- x 0 ，- y 0 )

由MP⊥MH可得

MP ?

MH =0 ，即（t-x ₀，-y ₀）?（2-x ₀，-y ₀）= (t- x 0 )?(2- x 0 )+ y 0 2 =0

由①②消去y ₀，整理得 t(2- x 0 )=-

1

4 x 0 2 +2 x 0 -3 ②

∵x ₀≠2，∴ t=

1

4 x 0 -

3

2

∵-2＜x ₀＜2，∴-2＜t＜-1

故实数t的取值范围为（-2，-1）．