(1)：由题意可知：A（0,2）,D（-4,0）
A点坐标带入二次函数：2=c
将B点坐标带入二次函数：0=0.5*1+b+c
得出 b=-2.5
所以抛物线方程：y=0.5*x^2-2.5x+2.
(2):△PBC的周长,其中BC是固定的,即求PB+PC的最小值.
由（1）得B（1,0）,C（4,0）
所以BC=3.
假设P坐标为（x,y）,PB=a,PC=b,可知a》0,b》0 .
带入直线得：y=0.5x+2,
△PBC的周长=3+a+b》3+2√ab,当且当a=b时取=号!（不知道你学了不等式没,学了就简单了）
所以周长最小时a=b,即PB=PC,就是△PBC是等边三角形,P点的横坐标是BC的中点,即
x=2.5,这时y=3.25,即P（2.5,3.25）
（3）：这个应该学了向量了吧?
A（0,2）,E（6,5）
假设Q坐标为（x,0）,
即向量AQ（x,-2）,向量EQ（x-6,-5）,向量AE（6,3）,
（1）：AQ与EQ要垂直,即向量AQ与EQ的乘积为0,即x*（x-6）+10=0,无解.
（2）：AQ与AE垂直,即6x-6=0,解出x=1,所以Q（1,0）
（3）：AE与EQ垂直,即6*（x-6）-5*3=0,解出x=8.5,即Q（8.5,0）
所以△QAE是直角三角形时,Q的坐标是（1,0）或者（8.5,0）
（4）设M的横坐标为x,所以M坐标为（x,0.5x+2）,N坐标为（x,0.5*x^2-2.5x+2）,
所以MN的长度即为0.5*x^2-2.5x+2-（0.5x+2）的绝对值,
即0.5x^2-3x的绝对值.
又有0.5x^2-3x=0.5*（x-3）^2-4.5,
M点在AE线段上,即0