解题思路：（1）利用三角函数的和角公式，结合三角函数的诱导公式化简即可；
（2）题目中条件：“x0为f（x）的一个极值点”可得，x0是其导数的一个零点，由此得到一个方程，解之即得；
（3）由题意得：“x0在第二或第四象限内”，结合正切函数的图象与性质讨论两极值点的差的范围．
（Ⅰ）证明：由函数f（x）的定义，对任意整数k，有
f（x+2kπ）-f（x）=（x+2kπ）sin（x+2kπ）-xsinx=（x+2kπ）sinx-xsinx=2kπsinx．
（Ⅱ）证明：函数f（x）在定义域R上可导，f'（x）=sinx+xcosx①
令f'（x）=0，得sinx+xcosx=0．
显然，对于满足上述方程的x有cosx≠0，
上述方程化简为x=-tanx．此方程一定有解．f（x）的极值点x0一定满足tanx0=-x0．
由sin2x=
sin2x
sin2x+cos2x=
tan2x
1+tan2x，得sin2x0=
tan2x0
1+tan2x0．
因此，[f（x0）]2=x02sin2x0=
x04
1+x02．
（Ⅲ）证明：设x0＞0是f'（x）=0的任意正实数根，即x0=-tanx0，
则存在一个非负整数k，使x0∈（[π/2]+kπ，π+kπ），即x0在第二或第四象限内．
由①式，f'（x）=cosx（tanx+x）在第二或第四象限中的符号可列表如下：
所以满足f'（x）=0的正根x0都为f（x）的极值点．
由题设条件，a1，a2，an，为方程x=-tanx的全部正实数根且满足a1＜a2＜＜an＜，
那么对于n=1，2，an+1-an=-（tanan+1-tanan）=-（1+tanan+1•tanan）tan（an+1-an）． ②
由于[π/2]+（n-1）π＜an＜π+（n-1）π，[π/2]+nπ＜an+1＜π+nπ，
则[π/2]＜an+1-an＜[3π/2]，
由于tanan+1•tanan＞0，由②式知tan（an+1-an）＜0．
由此可知an+1-an必在第二象限，
即an+1-an＜π．综上，[π/2]＜an+1-an＜π．
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理；三角函数中的恒等变换应用．
考点点评： 本题考查了三角函数的和角公式、诱导公式，函数的极值点、正切函数的图象与性质问题．