1,由于球和正三棱锥都是对称图形,可以得到球心O和顶点P的连线垂直底面ABC于O'.
2,由于球O内切与P-ABC,那么球心到面PBC与面ABC的距离相等,即球心在角PEA的角平分线上.
设O'E=a,则PO'=a×tgθ,AE=3a,S△PAE=1.5a^2×tgθ.
S△PAE/S球=9√3：8π
S球=4πR^2
a^2×tgθ=R^2*3√3------------------------1
PO'×O'E=OO'×O'E+R×PE
a^2×tgθ=aR+R[√a^2+(atgθ)^2]
设tgθ=n
化简后两边平方得
a^2=R^2{1+[2(1+√n^2+1)/n]}--------------2
1、2式对比,可得关于tgθ的根式方程.
解之即得到结果,答案是√3.有一个4√3的增根.
你试着解一下吧,