(本小题满分14分)椭圆 E 中心在原点 O ，焦 - 知识问答

(本小题满分14分)椭圆 E 中心在原点 O ，焦点在 x 轴上，其离心率 e = ，过点 C (－1，0)的直线 l

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（1） S_△_OAB=
( k ≠0).；（2） x²+3 y²=5.
(1)设椭圆 E 的方程为
=1( a ＞ b ＞0)，由 e =
.
∴ a²=3 b²，故椭圆方程 x²+3 y²=3 b². 2分
设 A ( x₁， y₁)、 B ( x₂， y₂)，由于点 C (－1，0)分有向线段
的比为2，
①②
∴
，即
由
消去 y 整理并化简，得(3 k²+1) x²+6 k²x +3 k²－3 b²=0.4分
由直线 l 与椭圆 E 相交于 A ( x₁， y₁)、 B ( x₂， y₂)两点，
③
④
⑤
∴
而 S_{△ OAB}=
| y₁－ y₂|=
|－2 y₂－ y₂|
=
| y₂|=
| k ( x₂+1)|=
| k || x₂+1|.⑥
由①④得: x₂+1=－
，代入⑥得：
S_{△ OAB}=
( k ≠0).8分
(2)因 S_{△ OAB}=
=
≤
=
，
当且仅当 k =±
， S_{△ OAB}取得最大值.
此时 x₁+ x₂=－1，又∵
=－1，
∴ x₁=1， x₂=－2.
将 x₁， x₂及 k²=
代入⑤得3 b²=5.
∴椭圆方程 x²+3 y²=5.14分

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