已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴正半轴上，设 - 知识问答

已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴正半轴上，设A、B是抛物线C上的两个动点（AB不垂直于x轴），且|AF|+|BF|

2个回答

解题思路：由抛物线的定义，知：
|AF|+|BF|＝
x
1
+
p
2
+
x
2
+
p
2
＝
x
1
+
x
2
+p＝8
，所以x₁+x₂=8-p．由点Q（6，0）在线段AB的垂直平分线上，知|QA|=|QB|，由此能求出抛物线的方程．
由抛物线的定义可得：|AF|+|BF|＝x1+
p
2+x2+
p
2＝x1+x2+p＝8
∴x₁+x₂=8-p．
∵点Q（6，0）在线段AB的垂直平分线上，
∴|QA|=|QB|即：（x₁-6）²+y₁²=（x₂-6）²+y₂²，
又∵y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，
∴（x₁-6）²+2px₁=（x₂-6）²+2px₂，
整理得：（x₁-x₂）（x₁+x₂-12+2p）=0．
∵x₁≠x₂∴x₁+x₂-12+2p=0即：x₁+x₂=12-2p=8-p
解得：p=4，
∴抛物线的方程为y²=8x．
点评：
本题考点：抛物线的简单性质．
考点点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．

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