过点P（4，2）作相互垂直的直线l 1 和l 2 - 知识问答

过点P（4，2）作相互垂直的直线l 1 和l 2 ，使得l 1 与x轴的正半轴相交于点A，l 2 与y轴的正半轴相交于点

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由题意，设A（a，0）、B（0，b）．则直线AB方程为
x
a +
y
b =1 （a＞0，b＞0），
∵，PA⊥PB，∴
2-0
4-a ×
2-b
4-0 =-1，化简得b=10-2a．
∵b＞0，∴0＜a＜5．直线AB的一般式方程为bx+ay-ab=0
∴点P（4，2）到直线AB的距离为d₁=
|4b+2a-ab|
a 2 + b 2 ．
又∵原点O到直线AB的距离为d₂=
|-ab|
a 2 + b 2 ，
∵四边形OAPB的面积被直线AB平分，∴d₁=d₂，
∴4b+2a-ab=±ab，又∵b=10-2a．
解得
a=4
b=2 或
a=
5
2
b=5 ，
∴所求直线AB的方程为x+2y-4=0或2x+y-5=0．

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