设直角三角形ABC的两直角边长为a,b,斜边长为c,试求满足a的立方+b的立方≥λabc中的最大λ值

1个回答

  • 设a=csinθ

    b=ccosθ θ∈(0,π/2)

    原不等式即化为:c^3sinθ^3+c^3cosθ^3>=λcsinθccosθc

    即sinθ^3+cosθ^3>=λsinθcosθ

    即(sinθ+cosθ)*(1-sinθcosθ)>=λsinθcosθ

    易得sinθ+cosθ>0

    令sinθcosθ=t

    则2t=sin2θ∈(0,1]

    即t∈(0,1/2]

    sinθ+cosθ=√(sinθ^2+cosθ^2+2t)=√(1+2t)

    不等式即划为:√(1+2t)*(1-t)>=λt 其中t∈(0,1/2]

    (我除了求导外想不到其它的方法了.)

    同时平方:(1+2t)*(1-t)*(1-t)>=λ^2t^2

    即2t^3-(3+λ^2)*t^2+1>=0

    令f(t)=2t^3-(3+λ^2)*t^2+1

    则 f‘(t)=6t^2-(3+λ^2)*2t

    当f‘(t)=0时 t1=0 t2=(3+λ^2)/3>1/2

    由于t∈(0,1/2],此时f’(t)恒小于0 即函数在此区间呈单调减

    故应满足:f(1/2)>=0

    此时:2(1/2)^3-(3+λ^2)*(1/2)^2+1>=0

    解得λ^2