设a=csinθ
b=ccosθ θ∈(0,π/2)
原不等式即化为:c^3sinθ^3+c^3cosθ^3>=λcsinθccosθc
即sinθ^3+cosθ^3>=λsinθcosθ
即(sinθ+cosθ)*(1-sinθcosθ)>=λsinθcosθ
易得sinθ+cosθ>0
令sinθcosθ=t
则2t=sin2θ∈(0,1]
即t∈(0,1/2]
sinθ+cosθ=√(sinθ^2+cosθ^2+2t)=√(1+2t)
不等式即划为:√(1+2t)*(1-t)>=λt 其中t∈(0,1/2]
(我除了求导外想不到其它的方法了.)
同时平方:(1+2t)*(1-t)*(1-t)>=λ^2t^2
即2t^3-(3+λ^2)*t^2+1>=0
令f(t)=2t^3-(3+λ^2)*t^2+1
则 f‘(t)=6t^2-(3+λ^2)*2t
当f‘(t)=0时 t1=0 t2=(3+λ^2)/3>1/2
由于t∈(0,1/2],此时f’(t)恒小于0 即函数在此区间呈单调减
故应满足:f(1/2)>=0
此时:2(1/2)^3-(3+λ^2)*(1/2)^2+1>=0
解得λ^2