已知数列{an}是公差不为0的等差数列，a1=1， - 知识问答

已知数列{an}是公差不为0的等差数列，a1=1，且a2，a4，a8成等比数列．

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解题思路：（1）由已知条件得（1+3d）²=（1+d）（1+7d），解得d=1，或d=0（舍），由此求出a_n=1+（n-1）×1=n．
（2）设{bn}的公比为q，由已知条件得
S
2n
＝
b
1
(1−
q
2n
)
1−q
=510，
S
n
＝
b
1
(1−
q
n
)
1−q
30，两式相除，得1+qⁿ=17，由在前n项和中，最大项为16，解得得b₁=q=2，b_n=2ⁿ．c_n=a_n•b_n=n•2ⁿ，由此利用错位相减法能求出数列{C_n}的前n项和T_n．
（1）∵数列{a_n}是公差不为0的等差数列，a₁=1，且a₂，a₄，a₈成等比数列，
∴（1+3d）²=（1+d）（1+7d），
解得d=1，或d=0（舍），
∴a_n=1+（n-1）×1=n．
（2）设{bn}的公比为q，
∵
Sn
2=15，
S2n
2=255，
∴S2n＝
b1(1−q2n)
1−q=510，Sn＝
b1(1−qn)
1−q30，
两式相除，得1+qⁿ=17，
∴b_n=b1qn−1=
b1
q•qn16•
b1
q，
∵在前n项和中，最大项为16，
∴只有
b1
q=1时最大，故b₁=q时取得．
将所得结果代入到
Sn
2＝15，求得b₁=q=2，b_n=2ⁿ．
c_n=a_n•b_n=n•2ⁿ，
T_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，①
2T_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，②
①-②，得-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹
=-（n-1）•2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．
点评：
本题考点：数列的求和．
考点点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．

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