Question

设函数f（x）=kax-a-x（a＞0且a≠1）是定义域为R上的奇函数．

Answer 1

解题思路：（1）由奇函数性质得f（0）=0，解出即可；

（2）由f（1）＞0易知a＞1，从而可判断f（x）的单调性，由函数单调性、奇偶性可把不等式转化为具体不等式，解出即可；

（3）由f（1）=[3/2]可求得a值，g（x）=2^2x+2^-2x-2m（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-2m（2^x-2^-x）+2，令t=f（x）=2^x-2^-x，g（x）可化为关于t的二次函数，分情况讨论其最小值，令最小值为-2，解出即可；

（1）∵f（x）是定义域为R上的奇函数，

∴f（0）=0，∴k-1=0，∴k=1，经检验k=1符合题意；

（2）∵f（1）＞0，∴a−

1

a＞0，又a＞0且a≠1，∴a＞1，

易知在R上单调递增，

原不等式化为：f（x²+2x）＞f（4-x），∴x²+2x＞4-x，即x²+3x-4＞0，

∴x＞1或x＜-4，

∴不等式的解集为{x|x＞1或x＜-4}；

（3）∵f(1)＝

3

2，∴a−

1

a＝

3

2，即2a²-3a-2=0，

解得a＝2或a＝−

1

2（舍去），

∴g（x）=2^2x+2^-2x-2m（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-2m（2^x-2^-x）+2．

令t=f（x）=2^x-2^-x，∵x≥1，∴t≥f(1)＝

3

2，

∴g（t）=t²-2mt+2=（t-m）²+2-m²，

当m≥

3

2时，当t=m时，g(t)min＝2−m2＝−2，∴m=2；

当m＜

3

2时，当t＝

3

2时，g(t)min＝

17

4−3m＝−2，

解得m＝

25

12＞

3

2，舍去，

综上可知m=2．

点评：

本题考点： 函数单调性的性质；函数的值域；函数奇偶性的性质．

考点点评： 本题考查函数奇偶性、单调性及抽象不等式的求解，考查二次函数的最值问题，考查分类讨论思想，考查学生解决问题的能力．