Question

证明不等式logn(n-1)·logn(n+1)＜1,(n>1)

Answer 1

设 f(x)=ln(x-1) / ln（x),x>=2

f'(x) = (xln(x)-(x-1)ln(x-1)) / ((x(x-1) (ln(x))^2) >0 对x>2 成立.

所以f(x) 在 x>=2 上递增.于是有 当n>1时,

f(n+1)>=f(n)

ln(n)/ln(n+1) > ln(n-1)/ln(n)

==>

(ln(n-1)/ln(n))(ln(n+1)/ln(n)) < 1

即：

logn(n-1)·logn(n+1)＜1