在直角坐标平面上,已知点A(0,2),B(0,1),D(t,0)(t>0).点M是线段AD上的动点,如果|AM|≤2|B

1个回答

  • 解题思路:设M(x,y),由题意可得y=[2t-2x/t],代入距离公式可得x2+(y-2)2≤4[x2+(y-1)2],消掉y可得(3t2+12)x2-16tx+4t2≥0恒成立,进而可得其△≤0,解此不等式可得t的范围,进而可得最小值.

    设M(x,y),则由A、M、D三点共线可得[y-2/x=

    y

    x-t],整理可得y=[2t-2x/t],

    由两点间的距离公式,结合|AM|≤2|BM|恒成立可得x2+(y-2)2≤4[x2+(y-1)2],

    整理可得3x2+3y2-4y≥0,代入y=[2t-2x/t]化简可得(3t2+12)x2-16tx+4t2≥0恒成立,

    ∵3t2+12>0,由二次函数的性质可得△=(-16t)2-4(3t2+12)•4t2≤0,

    整理可得3t4-4t2≥0,即t2≥

    4

    3,解得t≥

    2

    3

    3,或t≤-

    2

    3

    3(因为t>0,故舍去)

    故正实数t的最小值是:

    2

    3

    3

    故答案为:

    2

    3

    3

    点评:

    本题考点: 两点间的距离公式;基本不等式.

    考点点评: 本题考查两点间的距离公式,涉及不等式的解法,属中档题.