Question

已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝12ax2+bx (a≠0).

Answer 1

解题思路：（1）h（x）的导数大于或等于0，得到b≤m（x）型的不等式，故应有：b小于或等于m（x）的最小值．

（2）换元，设t=e^x，把函数φ（x）化为二次函数的形式，配方找出对称轴，分对称轴在区间内、在区间左侧、在区间右侧三种情况求出函数最小值．

（Ⅰ）由题设知：h（x）=lnx+x²-bx，且在（0，+∞）上是增函数，

∵h′(x)＝

1

x+2x−b

∴[1/x+2x−b≥0即b≤

1

x+2x对x∈（0，+∞）恒成立，

∵x＞0，有

1

x+2x≥2

2.∴b的取值范围为(−∞，2

2].（7分）

（Ⅱ）设t=e^x，则函数化为φ（x）=F（t）=t²+bt，t∈[1，2]．∵F(t)＝(t+

b

2)2−

b2

4.

∴当−

b

2≤1即−2≤b≤2

2]时，F（t）在[1，2]上为增函数，[φ（x）]_min=F（1）=b+1；

当1＜−

b

2＜2即-4＜b＜-2时，[φ(x)]min＝F(−

b

2)＝−

b2

4；

当−

b

2≥2即b≤-4时，F（t）在[1，2]上为减函数，[φ（x）]_min=F（2）=2b+4；

∴[φ(x)]min＝

点评：

本题考点： 函数单调性的性质；函数恒成立问题．

考点点评： 本题考查函数单调性的应用，恒成立问题，注意分类讨论．