高二导数题,设正三棱的柱体积为V,那么其表面积最小时,底面边长为?

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  • 设三角形底的边长为L,其内接园的半径是R,有:

    R=L/(2√3)

    三角形的高=3R=L√3/2

    三棱柱的高=R=L/(2√3)

    V=(L3R/2)R

    =L(L√3/4)*[L/(2√3)]

    =(L^3)/8

    L=2(V 开立方)

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    用导数来求解:

    设三角形底的边长为L,三角形高为h,其内接园的半径是R,三棱柱高为H,有:

    L=2√3R

    h=3R

    三角形底面积S1=(3R/2)*2√3R=3√3R^2

    三棱柱侧面积S2=3*2√3R*H=6√3R*H

    V=S1*H=3√3R^2*H

    H=V/(3√3R^2)

    三棱柱表面积S=S1+S2=3√3R^2+6√3R*H=3√3R^2+2V/R

    S'=6√3R-2V/R^2

    令S'=6√3R-2V/R^2=0

    R^3=V/(3√3)

    R=V 开立方/√3

    又S''=6√3+V/R^3; 当R=V 开立方/√3时,S''=9√3>0,即此时S有极小值.

    有L=2√3R=2√3(V 开立方)/√3

    =2(V 开立方)