错在第2个等式那里[=(e/e)^(1/x)这步]
你这里把前面的(1+x)^(1/x)按x->0算出了极限.但是最外面还有个1/x次方.
打个比方:
就好象求(1+x)^(1/x)这个极限一样.知道x->0时,这个极限是等于e
那么你的做法就是相当于:先求(1+x)在x->0时的极限是1
然后整个(1+x)^(1/x)的极限就是1^(1/x)=1
这就是你那步的错误所在.
而你的题目的正确做法应该是先取对数求它的对数极限.
就是:linf(x)=lim [ln(1+x)/x-1]/x=lim [ln(1+x)-x]/x^2
=lim [1/(1+x)-1]/2x
=lim [-x/2x(1+x)]
=lim -1/2(1+x)
那么在x->0时,这个极限就是-1/2
再化掉对数结果就是e^(-1/2)