解题思路：（1）由已知数列{an}是常数列，可得an+1=an=a，结合an+1=f（an）及已知函数f（x）可得关于a的方程，可求a（2）由a1＝4，bn＝an−2an−1(n∈N*)，及an+1=f（an）=4an−2an+1，利用递推关系可求bn+1与bn的关系，可证{bn}为等比数列，进而可求bn，代入bn＝an−2an−1可求an，可求极限
（1）∵f(x)＝
4x−2
x+1，a1＝a，an+1＝f(an)(n∈N*)，数列{an}是常数列，
∴an+1=an=a，即a＝
4a−2
a+1，解得a=2，或a=1．
∴所求实数a的值是1或2．
（2）证明：∵a1＝4，bn＝
an−2
an−1(n∈N*)，
∴b1＝
2
3，bn+1＝
an+1−2
an+1−1＝
4an−2
an+1−2
4an−2
an+1−1＝
2
3
an−2
an−1，
即bn+1＝
2
3bn(n∈N*)．
∴数列{bn}是以b1＝
2
3为首项，公比为q＝
2
3的等比数列，
于是bn＝
2
3(
2
3)n−1＝(
2
3)n(n∈N*)．
由bn＝
an−2
an−1，即
an−2
an−1＝(
2
3)n，
解得an＝
(
2
3)n−2
(
2
3)n−1(n∈N*)．
∴
lim
n→∞an＝2．
点评：
本题考点： 数列的极限；等比关系的确定；数列与函数的综合．
考点点评： 本题主要考查 了利用数列的递推公式证明等比数列，求解数列的通项公式，及数列极限的求解，试题具有一定的综合性