Question

如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B，C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点．

Answer 1

证明：（Ⅰ）连接OP，OM．

因为AP与⊙O相切于点P，所以OP⊥AP．

因为M是⊙O的弦BC的中点，所以OM⊥BC．

于是∠OPA+∠OMA=180°．

由圆心O在∠PAC的内部，可知四边形M的对角互补，

所以A，P，O，M四点共圆．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得A，P，O，M四点共圆，所以∠OAM=∠OPM．

由（Ⅰ）得OP⊥AP．

由圆心O在∠PAC的内部，可知∠OPM+∠APM=90°．

又∵A，P，O，M四点共圆

∴∠OPM=∠OAM

所以∠OAM+∠APM=90°．