已知椭圆
的中心在坐标原点，焦点在
轴上，离心率为
，且过双曲线
的顶点．
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）命题：“设
、
是双曲线
上关于它的中心对称的任意两点，
为该双曲线上的动点，若直线
、
均存在斜率，则它们的斜率之积为定值”．试类比上述命题，写出一个关于椭圆
的类似的正确命题，并加以证明和求出此定值；
（3）试推广（Ⅱ）中的命题，写出关于方程
（
，
不同时为负数）的曲线的统一的一般性命题（不必证明）.
（1）
．
（2）关于椭圆
的正确命题是：设
、
是椭圆
上关于它
的中心对称的任意两点，
为该椭圆上的动点，若直线
、
均存在斜率，
则它们的斜率之积为定值．
（定值）
（3）关于方程
（
，
不同时为负数）的曲线的统一的一般性命题是：
设
、
是方程
（
，
不同时为负数）的曲线上关于它的中心对称的任意两点，
为该曲线上的动点，若直线
、
均存在斜率，则它们的斜率之积为定值.
试题分析：（1）设椭圆
的方程为
，半焦距为
，
则
，
，
椭圆
的方程为
．
（2）关于椭圆
的正确命题是：设
、
是椭圆
上关于它
的中心对称的任意两点，
为该椭圆上的动点，若直线
、
均存在斜率，
则它们的斜率之积为定值．
证明如下：
设点
，