Question

（I）给定数列{c n }，如果存在实常数p，q，使得c n+1 =pc n +q对于任意n∈N*都成立，则称数列{c

Answer 1

（Ⅰ）（i）∵ a n =3• 2 n ，n∈ N * ，

∴ a n+1 =3× 2 n+1 =2×(3× 2 n ) =2×a _n=2a _n+0，

∴p=2，q=0

∴数列{a _n}是“M”数列．

（ii）当n=1时， b 1 = S 1 = 1 2 +1 =2．

当n≥2时，b _n=S _n-S _n-1=n ²+n-（n-1） ²-（n-1）=2n．

上式对于n=1时也成立，

∴b _n=2n（n∈N ^*）．

∴b _n+1=2（n+1）=2n+2=b _n+2．

∴数列{b _n}是“M”数列，且p=1，q=2．

（Ⅱ）∵ a n + a n+1 = 2 n （n∈N ^*），∴ a 2 + a 3 = 2 2 ， a 4 + a 5 = 2 4 ，… a 2012 + a 2013 = 2 2012 ．

S ₂₀₁₃=a ₁+a ₂+a ₃+…+a ₂₀₁₃=2+2 ²+2 ⁴+…+2 ²⁰¹²= 2+

4×( 4 1006 -1)

4-1 =

2 2014 +2

3 ．

故数列{a _n}前2013项的和S ₂₀₁₃=

2 2014 +2

3 ．