Question

如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点

Answer 1

（1）线段BH与AC相等。证明如下：

∵∠BDC=∠BEC=∠CDA=90°，∠ABC=45°，

∴∠BCD=45°=∠ABC，∠A+∠DCA=90°，∠A+∠ABE=90°，

∴DB=DC，∠ABE=∠DCA，

在△DBH和△DCA中，∵∠DBH=∠DCA，BD=CD，∠BDH=∠CDA，

∴△DBH≌△DCA（ASA）。∴BH=AC。

（2）证明：连接CG，

∵F为BC的中点，DB=DC，∴DF垂直平分BC。∴BG=CG。

∵∠ABE=∠CBE，BE⊥AC，∴∠AEB=∠CEB。

在△ABE和△CBE中，

∵∠AEB=∠CEB，BE=BE，∠CBE=∠ABE，

∴△ABE≌△CBE（ASA）。∴EC=EA。

在Rt△CGE中，由勾股定理得：CG ²﹣GE ²=EC ²。

∴BG ²﹣GE ²=EA ²。

（1）根据三角形的内角和定理求出∠BCD=∠ABC，∠ABE=∠DCA，推出DB=CD，根据ASA证出△DBH≌△DCA即可。

（2）根据DB=DC和F为BC中点，得出DF垂直平分BC，推出BG=CG，根据BE⊥AC和∠ABE=∠CBE得出AE=CE，在Rt△CGE中，由勾股定理即可推出答案。