解题思路：（1）根据已知
f(n)＝1+
1
2
3
+
1
3
3
+
1
4
3
…+
1
n
3
，
g(n)＝
3
2
−
1
2
n
2
，n∈N*．我们易得当n=1，2，3时，两个函数函数值的大小，比较后，根据结论我们可以归纳推理得到猜想f（n）≤g（n）；
（2）但归纳推理的结论不一定正确，我们可用数学归纳法进行证明，先证明不等式f（n）≤g（n）当n=1时成立，再假设不等式f（n）≤g（n）当n=k（k≥1）时成立，进而证明当n=k+1时，不等式f（n）≤g（n）也成立，最后得到不等式f（n）≤g（n）对于所有的正整数n成立；
（1）当n=1时，f（1）=1，g（1）=1，所以f（1）=g（1）；
当n=2时，f(2)＝
9/8]，g(2)＝
11
8，
所以f（2）＜g（2）；
当n=3时，f(3)＝
251
216，g(3)＝
312
216，
所以f（3）＜g（3）．
（2）由（1），猜想f（n）≤g（n），下面用数学归纳法给出证明：
①当n=1，2，3时，不等式显然成立．
②假设当n=k（k≥3）时不等式成立，
即1+
1
23+
1
33+
1
43+
1
k3＜
3
2−
1
2k2，
那么，当n=k+1时，f(k+1)＝f(k)+
1
(k+1)3＜
3
2−
1
2k2+
1
(k+1)3，
因为
1
2(k+1)2−(
1
2k2−
1
(k+1)3)＝
k+3
2(k+1)3−
1
2k2＝
−3k−1
2(k+1)3k2＜0，
所以f(k+1)＜
3
2−
1
2(k+1)2＝g(k+1)．
由①、②可知，对一切n∈N*，都有f（n）≤g（n）成立．
点评：
本题考点： 用数学归纳法证明不等式；不等式比较大小．
考点点评： 数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n=1时成立；2）（归纳） 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．