Question

如果四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四边形的四个顶点共圆

Answer 1

已知：一个外角等于它的内对角,则内对角互补.

即,四边形ABCD中,∠A+∠C=π

求证：四边形ABCD内接于一个圆（A,B,C,D四点共圆）

证明：用反证法

过A,B,D作圆O,假设C不在圆O上,点C在圆外或圆内,

若点C在圆外,设BC交圆O于C’,连结DC’,根据圆内接四边形的性质得∠A+∠DC’B=π,

∵∠A+∠C=π ∴∠DC’B=∠C

这与三角形外角定理矛盾,故C不可能在圆外.

类似地可证C不可能在圆内.

∴C在圆O上,也即A,B,C,D四点共圆.