Question

已知数列{an}的前n项和Sn，且Sn=（n+1）an-n(n+1)2（n∈N*）．

Answer 1

解题思路：（I）利用an＝S1，n＝1Sn−Sn−1，n≥2，由Sn=（n+1）an-n(n+1)2（n∈N*），能证明数列{an}为等差数列，并求其通项公式．（II）由bn=（2n-1）•2an=（2n-1）•2n，知Tn＝1×21+3×22+5×23+…+（2n-1）×2n，利用错位相减法能求出数列{bn}的前n项和Tn．

（I）∵S_n=（n+1）a_n-

n(n+1)

2（n∈N^*），

∴当n=1时，a₁=1，

当n≥2时，S_n-S_n-1=[（n+1）a_n-

n(n+1)

2]-[nan−1−

(n−1)n

2]，

化简，得a_n-a_n-1=1，（n≥2），

即数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，

∴a_n=n．

（II）∵b_n=（2n-1）•2an=（2n-1）•2ⁿ，

∴Tn＝1×21+3×22+5×23+…+（2n-1）×2ⁿ，

2T_n=1×2²+3×2³+…+（2n-3）×2ⁿ+（2n-1）×2ⁿ⁺¹，

∴−Tn＝2+2×(22+23+…+2n)-（2n-1）×2ⁿ⁺¹

=2+2×

22(1−2n−1)

1−2-（2n-1）•2ⁿ⁺¹

=-（2n-3）•2ⁿ⁺¹-6，

∴Tn＝(2n−3)•2n+1+6．

点评：

本题考点： 数列的求和；等差数列的通项公式．

考点点评： 本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意错位相减法的合理运用．