Question

一道简单的线性代数证明题设A是n阶方阵,x是n维列向量.若对某一自然数m,有[A^(m-1)]x≠0,(A^m)x=0.

Answer 1

k1x+k2Ax+...+km[A^(m-1)]x=0

上式两端左乘A^(m-1)]之后

除k1[A^(m-1)]x这项之外的其他项,就变成

【k2Ax+...+km[A^(m-1)]x】*A^(m-1)

=k2(A^m)x+k3【A^（m+1)】x+...+km[A^(2m-2)]x

因为(A^m)x=0,所以上式

=k2(A^m)+k3*（A^m)x*A+k4*（A^m)x*A^2+……+km*（A^m)x*[A^(m-2)]

=k2*0 +k3*0*A +k4*0*A^2+……+km*0*[A^(m-2)]

=0