Question

已知函数f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的导函数

Answer 1

解题思路：（1）根据导数公式求出导函数，然后利用两角和公式对函数解析式化简整理，进而用周期公式做出周期；

（2）由于f（x）=2f′（x），得到

tanx＝

1

3

，将原式

1+si

n

2

x

co

s

2

x+sinx•cosx

化为切函数．

（1）∵f'（x）=cosx-sinx，

∴f'（x）=cosx-sinx=-

2sin（x+[π/4]），

F（x）=cos²x-sin²x+1+2sinxcosx=1+sin2x+cos2x=1+

2sin（2x+[π/4]），

所以F（x）的最小正周期为T=π

（2）由于f（x）=2f′（x），则sinx+cosx=2（cosx-sinx）

故3sinx=cosx

即tanx＝

1

3

原式=

2sin2x+cos2x

cos2x+sinx•cosx=

1+2tan2x

1+tanx＝

11

12．

点评：

本题考点： 导数的加法与减法法则；三角函数的恒等变换及化简求值．

考点点评： 本题主要考查三角函数的恒等变换，以及三角函数的求导问题，属于基础题．