（2010•天津模拟）已知数列{an}的前n项和S - 知识问答

（2010•天津模拟）已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=a（Sn-an+1）（a为常数，a≠0，a≠1）．

1个回答

解题思路：（Ⅰ）由题意知a₁=a，S_n=a（S_n-a_n+1），S_n-1=a（S_n-1-a_n-1+1），由此可知a_n=a•a_n-1，
a
n
a
n-1
=a
，所以a_n=a•a^n-1=aⁿ．
（Ⅱ）由题意知a≠1，
b
n
=(
a
n
)
2
+
a(
a
n
-1)
a-1
a
n
，
b
n
=
(2a-1)
a
2n
-a
a
n
a-1
，由此可解得
a=
1
2
．
（Ⅲ）证明：由题意知
b
n
=(
1
2
)
n
，所以
c
n
=
1
(
1
2
)
n
+1
-
1
(
1
2
)
n+1
-1
=
2-
1
2
n
+1
+
1
2
n+1
-1
，由此可知T_n＞2n-[1/2]．
（Ⅰ）S₁=a（S₁-a₁+1）
∴a₁=a，．（1分）
当n≥2时，S_n=a（S_n-a_n+1），S_n-1=a（S_n-1-a_n-1+1），
两式相减得：a_n=a•a_n-1，
an
an−1＝a
（a≠0，n≥2）即{a_n}是等比数列．
∴a_n=a•a^n-1=aⁿ；（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a≠1，
bn＝(an)2+
a(an−1)
a−1an，bn＝
(2a−1)a2n−aan
a−1，
若{b_n}为等比数列，则有b₂²=b₁b₃，
而b₁=2a²，b₂=a³（2a+1），b₃=a⁴（2a²+a+1）（6分）
故[a³（2a+1）]²=2a²•a⁴（2a²+a+1），解得a＝
1
2，（7分）
再将a=[1/2]代入得bn=（[1/2]）ⁿ成立，所以a=[1/2]．（8分）
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知bn＝(
1
2)n，
所以cn＝
1
(
1
2)n+1−
1
(
1
2)n+1−1=
2n
2n+1+
2n+1
2n+1−1=2−
1
2n+1+
1
2n+1−1（10分）
所以cn＞2−
1
2n+
1
2n+1
T_n=c₁+c₂++c_n＞(2−
点评：
本题考点：数列的应用；数列的求和；数列递推式．
考点点评：本题考查数列知识的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答．

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