菱形ABCD,∠B=60°,一个60°的角的顶点在C点,并绕点C旋转,旋转时角的两边始终分别与AB、AD交于E、F两点.

1个回答

  • 证明:

    连接CA、EF

    因为四边形ABCD是菱形,∠B=60°,AC是对角线

    所以∠BCD=120°,∠BCA=∠DCA=60°

    因为∠AEF=60°

    所以∠AEF=∠ACF

    所以A、E、C、F四点共圆

    所以∠AFE=∠ACE=60°

    所以△AEF是等边三角形

    (两个角等于60度的三角形是等边三角形)

    所以AE=AF

    作AM⊥BC

    则BM=AB/2=3,AM=3√3

    所以EM=|x-3|

    根据勾股定理得

    AE^2=(x-3)^2+(3√3)^2

    =x^2-6x+36

    所以y=(√3/4)*AE^2

    即y=(x^2-6x+36)*√3/4

    (0≤x≤6)

    如果不用四点共圆知识

    那就用相似知识证明:

    设EF、CA交于M

    由∠AEF=∠ACF,∠EMA=∠CMF

    得△EAM∽△CFM

    所以EM/CM=AM/FM

    所以EM/AM=CM/FM

    因为∠EMC=∠AMF

    所以△ECM∽△AFM

    所以∠AFE=∠ECM=60度

    所以△AEF是等边三角形

    所以AE=AF