Question

记等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a2+a4=6，S4=10．

Answer 1

解题思路：（1）：利用待定系数法，设首项和公差，由a₂+a₄=6，S₄=10，列方程组，可得数列首项和公差，从而得解．

（2）：由a_n=n，b_n=a_n•2ⁿ=n•2ⁿ可知，要求{b_n}的前n项和，可利用错位相减的方法求得．（一个等差数列和一个等比数列对应项之积组成的数列，可用错位相减法求和）

（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，由a₂+a₄=6，S₄=10，

可得

2a1+4d＝6

4a1+

4×3

2d＝10，（2分），

即

a1+2d＝3

2a1+3d＝5，

解得

a1＝1

d＝1，（4分）

∴a_n=a₁+（n-1）d=1+（n-1）=n，

故所求等差数列{a_n}的通项公式为a_n=n．（5分）

（Ⅱ）依题意，b_n=a_n•2ⁿ=n•2ⁿ，

∴T_n=b₁+b₂++b_n=1×2+2×2²+3×2³++（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，（7分）

又2T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，（9分）

两式相减得-T_n=（2+2²+2³++2^n-1+2ⁿ）-n•2ⁿ⁺¹（11分）=

2(1−2n)

1−2−n•2n+1=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，（12分）

∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．（13分）

点评：

本题考点： 数列的求和；等差数列的前n项和．

考点点评： 本题是数列求通项和前n项和的题型，高考常见，其中：

（1）可利用利用待定系数法求解，这是解数列题的一般方法，要熟练掌握．

（2）对于一个等差数列和一个等比数列对应项之积组成的数列，可用错位相减法求和，这也是教材推导等比数列前n项和公式时的方法．另外数列求和的方法还有倒序相加，裂项相消，分组求和等方法，要熟练掌握．都是高考中常考的知识点．