Question

（2014•梅州二模）已知函数f（x）=x（1nx+1）（x＞0）．

Answer 1

解题思路：（I）求导函数，确定函数的单调性，从而可得函数f（x）的最小值；

（II）确定函数的定义域，求导函数，对a讨论，利用导数的正负，考查函数的单调区间；

（III）确定y=f′（x）的定义域，求导函数，确定y=f′（x）在（0，+∞）上为增函数，从而可得结论．

（I）求导函数可得：f′（x）=lnx+2（x＞0）

令f′（x）＞0可得x＞e^-2；令f′（x）＜0可得0＜x＜e^-2，

∴函数在（0，e^-2）上单调减，在（e^-2，+∞）上单调增

∴x=e^-2时，函数f（x）取到最小值，最小值为-e^-2；

（II）设F（x）=ax²+f′（x）=ax²+lnx+2，则F′（x）=2ax+[1/x]=

2ax2+1

x（x＞0）

当a≥0时，∵x＞0，∴F′（x）＞0恒成立，∴函数F（x）单调增区间为（0，+∞）；

当a＜0时，∵x＞0，令F′（x）＞0，可得0＜x＜

−

1

2a；令F′（x）＞0，可得x＞

−

1

2a

∴函数F（x）单调增区间为(0，

−

1

2a)，单调减区间为(

−

1

2a，+∞)；

（III）证明：y=f′（x）的定义域为（0，+∞）

∵f″（x）=[1/x]＞0，∴y=f′（x）在（0，+∞）上为增函数

∴0＜f′（x₂）＜k＜f′（x₁）

∴0＜

1

x2＜k＜

1

x1

∴x1＜

1

k＜x2．

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查导数的几何意义，属于中档题．