Question

（2014•孝感二模）对于每个非零自然数n，抛物线y=x2-[2n+1n(n+1)

Answer 1

解题思路：设A_n、B_n两点的横坐标分别为p，q，利用韦达定理，可求得A_nB_n=[1/n]-[1/n+1]，从而可求得所求关系式的答案．

设A_n、B_n两点的横坐标分别为p，q，

则p，q为方程x²-[2n+1

n(n+1)x+

1

n(n+1)=0的两根，

由韦达定理知，p+q=

2n+1

n(n+1)，pq=

1

n(n+1)，

∴A_nB_n=

(p−q)2=

(p+q)2−4pq=

[

2n+1

n(n+1)]2−

4

n(n+1)=

1

n(n+1)=

1/n]-[1/n+1]，

∴A₁B₁+A₂B₂+…+A₂₀₁₄B₂₀₁₄

=（1-[1/2]）+（[1/2]-[1/3]）+…+（[1/2014]-[1/2015]）

=1-[1/2015]

=[2014/2015]．

故答案为：[2014/2015]

点评：

本题考点： 抛物线的简单性质．

考点点评： 本题考查抛物线的简单性质，着重考查韦达定理的应用，求得AnBn=[1/n]-[1/n+1]是关键，考查裂项法求和，属于中档题．