解题思路:(1)根据多边形的内角和公式可得到∠C的度数为90°;
(2)过点A作AE⊥BC,垂足为E.则线段AE把四边形ABCD分成△ABE和四边形AECD两部分,把△ABE以A点为旋转中心,逆时针旋转90°,则被分成的两部分重新拼成一个正方形.可以根据已知利用AAS来判定△ABE≌△ADF从而得到AE=AF,即得到四边形AECF是正方形;
(3)连接BD,根据勾股定理求得BD的长,根据已知得到△ABD的面积,从而可求得AM的长,再根据相似三角形的判定得到△ABM∽△ABD.根据相似三角形的对应边成比例可得到BM的长,再根据勾股定理即可求得AB的长.
(1)∵∠ABC与∠ADC互补,
∴∠ABC+∠ADC=180°.
∵∠A=90°,
∴∠C=360°-90°-180°=90°;
(2)过点A作AE⊥BC,垂足为E.
则线段AE把四边形ABCD分成△ABE和四边形AECD两部分,把△ABE以A点为旋转中心,逆时针旋转90°,则被分成的两部分重新拼成一个正方形.
过点A作AF∥BC交CD的延长线于F,
∵∠ABC+∠ADC=180°,又∠ADF+∠ADC=180°,
∴∠ABC=∠ADF.
∵AD=AB,∠AEC=∠AFD=90°,∴△ABE≌△ADF.
∴AE=AF.∴四边形AECF是正方形;
(3)解法1:连接BD,
∵∠C=90°,CD=6,BC=8,Rt△BCD中,BD=
82+62=10
又∵S四边形ABCD=49,∴S△ABD=49-24=25.
过点A作AM⊥BD垂足为M,
∴S△ABD=[1/2]×BD×AM=25.∴AM=5.
又∵∠BAD=90°,∴△ABM∽△DAM.
∴[AM/BM]=[MD/AM].
设BM=x,则MD=10-x,
∴[5/X]=[10−X/5].解得x=5.
∴AB=5
2.
解法2:连接BD,∠A=90°.
设AB=x,AD=y,则x2+y2=102,①
∵[1/2]xy=25,∴xy=50.②
由①,②得:(x-y)2=0.
∴x=y.
2x2=100.
∴x=5
2.
点评:
本题考点: 多边形内角与外角;直角三角形全等的判定;正方形的判定;相似三角形的判定与性质.
考点点评: 此题考查了学生对正方形的判定、相似三角形的判定、全等三角形的判定等知识点的综合运用能力.