Question

已知函数f（x）=[1/3]x3-x，数列{an}满足条件：a1≥1，an+1≥f′（an+1）．试用数学归纳法证明：a

Answer 1

∵f（x）=x²-1，a_n+1≥f′（a_n+1），

∴a_n+1≥(an+1)2-1…（3分）

下面用数学归纳法证明：

（1）当n=1时，a₁≥2¹-1=1，结论成立；…（5分）

（2）假设n=k（k≥1）且k∈N^*时结论成立，即a_k≥2^k-1，…（6分）

则当n=k+1时，a_k+1≥(ak+1)2-1≥2^2k-1≥2^k+1-1…（9分）

即n=k+1时，结论也成立．…（11分）

由（1）、（2）知，对任意n∈N^*，都有a_n≥2ⁿ-1．…（12分）