解题思路：（1）利用梯形中位线的性质，证明△BCF是等边三角形；然后解直角三角形求出x的值；
（2）利用相似三角形（或射影定理）求出线段EG与BE的比，然后利用
S
2
S
1
=[EG/BG]求解；
（3）依题意作出图形，当△BFE的外接圆与AD相切时，线段BE的中点O成为圆心．作辅助线，如答图3，构造一对相似三角形△OMP∽△ADH，利用比例关系列方程求出x的值，进而求出
S
2
S
1
的值．
（1）当点F落在梯形ABCD中位线上时，
如答图1，过点F作出梯形中位线MN，分别交AD、BC于点M、N．
由题意，可知ABCD为直角梯形，则MN⊥BC，且BN=CN=[1/2]BC．
由轴对称性质，可知BF=BC，
∴BN=[1/2]BF，
∴∠BFN=30°，∴∠FBC=60°，
∴△BFC为等边三角形．
∴CF=BC=4，∠FCB=60°，
∴∠ECF=30°．
设BE、CF交于点G，由轴对称性质可知CG=[1/2]CF=2，CF⊥BE．
在Rt△CEG中，x=CE=[CG/cos30°]=
2
3
2=
4
3
3．
∴当点F落在梯形ABCD的中位线上时，x的值为
4
3
3．
（2）如答图2，由轴对称性质，可知BE⊥CF．
∵∠GEC+∠ECG=90°，∠GEC+∠CBE=90°，
∴∠GCE=∠CBE，
又∵∠CGE=∠ECB=90°，
∴Rt△BCE∽Rt△CGE，
∴[BE/CE＝
CE
EG]，
∴CE2=EG•BE ①
同理可得：BC2=BG•BE ②
①÷②得：[EG/BG]=
CE2
BC2=
x2
16．
∴
S2
S1=
S△CEF
点评：
本题考点： 四边形综合题．
考点点评： 本题是几何综合题，考查了直角梯形、相似、勾股定理、等边三角形、矩形、中位线、圆的切线、解方程、解直角三角形等知识点，考查了轴对称变换与动点型问题，涉及考点较多，有一定的难度．