Question

已知函数f（x）=x 3 +ax 2 +bx+c（实数a，b，c为常数）的图象过原点，且在x=1处的切线为直线 y=-

Answer 1

（1）∵函数f（x）=x ³+ax ²+bx+c（a，b，c∈R）的图象过原点，

∴f（0）=c=0，

求导函数可得：f′（x）=3x ²+2ax+b，

∵在x=1处的切线为直线 y=-

1

2 ．

∴f（1）=1+a+b=-

1

2 ，f′（1）=3+2a+b=0，

∴a=-

3

2 ，b=0，

∴f（x）=x ³-

3

2 x ²，

（2）f（x）=x ³-

3

2 x ²，f′（x）=3x ²-3x=3x（x-1），

令f′（x）＞0，可得x＜0或x＞1；令f′（x）＜0，可得0＜x＜1；

∴函数在（-∞，0），（1，+∞）上单调递增；在（0，1）上单调递减，

∴函数在x=0处取得极大值0，

令f（x）=x ³-

3

2 x ²=0，可得x=0或x=

3

2 ，

∴0＜m＜

3

2 时，f（m）＜0，函数在x=0处取得最大值0；

m≥

3

2 时，f（m）≥0，函数在x=m处取得最大值 m 3 -

3

2 m 2 ．