Question

如图,△ABC的三边与其内切圆分别切于DEF三点,在△DEF中,作FG⊥DE,连接OB,OF,OC,求证DG.CF=EG

Answer 1

证明：因为 三角形ABC的三边与其内切圆O分别切于D,E,F三点,

所以 BD=BF,CE=CF,BO平分角DBF,CO平分角EOF,

所以 BO垂直平分DF,CO垂直平分EF,

所以 角BOF=角DEF,角COF=角EDF,

因为 BC切圆O于F,FG垂直于DE,

所以 角BFO=角EGF=90度,角CFO=角DGF=90度,

所以 三角形BOF相似于三角形FEG,三角形COF相似于三角形FDG,

所以 BF/FG=OF/EG,CF/FG=OF/DG,

即：EG*BF=FG*OF,DG*CF=FG*OF,

所以 DG*CF=EG*BF