已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,且AD=2,AB=1,PA⊥平面ABCD,E、F、分别是线段AB、BC的

3个回答

  • (1)在矩形ABCD中,连结AF、DF.

    因为三角形ABF和三角形CDF都是等腰直角三角形.

    所以三角形AFD是等腰直角三角形,即FD⊥FA.

    又PA⊥平面ABCD,且FD在平面ABCD内,所以FD⊥PA.

    因为FA交PA=A,所以FD⊥平面PAF.

    因为PF在平面PAF内,所以PF⊥FD.

    (2)取PA的中点M、PD的中点N,连结MN、MB、NF.

    因为MN//AD且MN=AD/2,而AD//BC且AD=BC,所以MN//BC且MN=BC/2=BF.

    因此四边形BFNM是平行四边形,即MB//NF.

    取MA的中点G,连结EG,则EG//MB//NF.

    因为NF在平面PFD内、EG不在平面PFD内.

    所以EG//平面PFD.

    (3)由题意知,PA=1.

    取AD的中点H,连结FH,则FH⊥平面PAD.

    作HP⊥PD、垂足为点P,连结PF.

    因为PD⊥HP、PD⊥FH,则PD⊥平面PFH,即PD⊥PF.

    所以,角FPH是二面角A-PD-F的平面角.

    用直角三角形PAD与直角三角霰PHD相似,可计算得PH=1/√5.

    而FH=1,则PF=√6/√5.

    cos角FPH=PH/PF=√6/6.

    二面角A-PD-F的余弦值=√6/6.