Question

已知1/m+1/n=1/k,求证直线x/m+y/n=1过定点

Answer 1

1.证明：∵直线l:mx+ny=1与椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)交于不同两点

联立方程得：mx+ny=1 ①

:x^2/a^2+y^2/b^2=1 ②

化简整理得：（b^2+a^2m^2/n^2）x^2-2a^2m/n^2x+a^2/n^2-a^2b^2=0

由根的判别式△>0得4a^4m^2/n^2-4(b^2+a^2m^2/n^2)(a^2/n^2-a^2b^2)>0

化简得(a^2b^4n^2-a^2b^2+a^4b^2m^2)/n^2>0

因为n^2>0

所以a^2b^4n^2-a^2b^2+a^4b^2m^2>0

即a^2b^4n^2+a^4b^2n^2>a^2b^2

也即a^2m^2+b^2n^2>1