第24讲 行程问题（一）
路程、时间、速度是行程问题的三个基本量,它们之间的关系如下：
路程=时间×速度,
时间=路程÷速度,
速度=路程÷时间.
这一讲就是通过例题加深对这三个基本数量关系的理解.
例1 一个车队以4米/秒的速度缓缓通过一座长200米的大桥,共用115秒.已知每辆车长5米,两车间隔10米.问：这个车队共有多少辆车?
分析与求车队有多少辆车,需要先求出车队的长度,而车队的长度等于车队115秒行的路程减去大桥的长度.由“路程=时间×速度”可求出车队115秒行的路程为4×115=460（米）.
故车队长度为460-200=260（米）.再由植树问题可得车队共有车（260-5）÷（5+10）+1=18（辆）.
例2骑自行车从甲地到乙地,以10千米/时的速度行进,下午1点到；以15千米/时的速度行进,上午11点到.如果希望中午12点到,那么应以怎样的速度行进?
分析与这道题没有出发时间,没有甲、乙两地的距离,也就是说既没有时间又没有路程,似乎无法求速度.这就需要通过已知条件,求出时间和路程.
假设A,B两人同时从甲地出发到乙地,A每小时行10千米,下午1点到；B每小时行15千米,上午11点到.B到乙地时,A距乙地还有10×2=20（千米）,这20千米是B从甲地到乙地这段时间B比A多行的路程.因为B比A每小时多行15-10=5（千米）,所以B从甲地到乙地所用的时间是
20÷（15-10）=4（时）.
由此知,A,B是上午7点出发的,甲、乙两地的距离是
15×4=60（千米）.
要想中午12点到,即想（12-7=）5时行60千米,速度应为
60÷（12-7）=12（千米/时）.
例3 划船比赛前讨论了两个比赛方案.第一个方案是在比赛中分别以2.5米/秒和3.5米/秒的速度各划行赛程的一半；第二个方案是在比赛中分别以2.5米/秒和3.5米/秒的速度各划行比赛时间的一半.这两个方案哪个好?
分析与路程一定时,速度越快,所用时间越短.在这两个方案中,速度不是固定的,因此不好直接比较.在第二个方案中,因为两种速度划行的时间相同,所以以3.5米/秒的速度划行的路程比以2.5米/秒的速度划行的路程长.用单线表示以2.5米/秒的速度划行的路程,用双线表示以3.5米/秒的速度划行的路程,可画出下图所示的两个方案的比较图.其中,甲段+乙段=丙段.
在甲、丙两段中,两个方案所用时间相同；在乙段,因为路程相同,且第二种方案比第一种方案速度快,所以第二种方案比第一种方案所用时间短.
综上所述,在两种方案中,第二种方案所用时间比第一种方案少,即第二种方案好.
例4 小明去爬山,上山时每小时行2.5千米,下山时每小时行4千米,往返共用3.9时.问：小明往返一趟共行了多少千米?
分析与因为上山和下山的路程相同,所以若能求出上山走1千米和下山走1千米一共需要的时间,则可以求出上山及下山的总路程.
因为上山、下山各走1千米共需
所以上山、下山的总路程为
在行程问题中,还有一个平均速度的概念：平均速度=总路程÷总时间.
例如,例4中上山与下山的平均速度是
例5一只蚂蚁沿等边三角形的三条边爬行,如果它在三条边上每分钟分别爬行50,20,40厘米,那么蚂蚁爬行一周平均每分钟爬行多少厘米?
设等边三角形的边长为l厘米,则蚂蚁爬行一周需要的时间为
蚂蚁爬行一周平均每分钟爬行
在行程问题中有一类“流水行船”问题,在利用路程、时间、速度三者之间的关系解答这类问题时,应注意各种速度的含义及相互关系：
顺流速度=静水速度+水流速度,
逆流速度=静水速度-水流速度,
静水速度=（顺流速度+逆流速度）÷2,
水流速度=（顺流速度-逆流速度）÷2.
此处的静水速度、顺流速度、逆流速度分别指船在静水中、船顺流、船逆流的速度.
例6 两个码头相距418千米,汽艇顺流而下行完全程需11时,逆流而上行完全程需19时.求这条河的水流速度.
水流速度=（顺流速度-逆流速度）÷2
=（418÷11-418÷19）÷2
=（38-22）÷2
=8（千米/时）
答：这条河的水流速度为8千米/时.
练习24
1.小燕上学时骑车,回家时步行,路上共用50分钟.若往返都步行,则全程需要70分钟.求往返都骑车需要多少时间.
2.某人要到60千米外的农场去,开始他以5千米/时的速度步行,后来有辆速度为18千米/时的拖拉机把他送到了农场,总共用了5.5时.问：他步行了多远?
3.已知铁路桥长1000米,一列火车从桥上通过,测得火车从开始上桥到完全下桥共用120秒,整列火车完全在桥上的时间为80秒.求火车的速度和长度.
4.小红上山时每走30分钟休息10分钟,下山时每走30分钟休息5分钟.已知小红下山的速度是上山速度的1.5倍,如果上山用了3时50分,那么下山用了多少时间?
5.汽车以72千米/时的速度从甲地到乙地,到达后立即以48千米/时的速度返回甲地.求该车的平均速度.
6.两地相距480千米,一艘轮船在其间航行,顺流需16时,逆流需20时,求水流的速度.
7.一艘轮船在河流的两个码头间航行,顺流需要6时,逆流需要8时,水流速度为2.5千米/时,求轮船在静水中的速度.
练习24
1.30分.
提示：骑车比步行单程少用70-50=20（分）.
2.15千米.
设他步行了x千米,则有x÷5+（60-x）÷18=5.5.
解得x=15（千米）.
3.10米/秒；200米.
设火车长为x米.根据火车的速度得（1000+x）÷120=（1000-x）÷80.
解得x=200（米）,火车速度为（1000+200）÷120=10（米/秒）.
4.2时15分.
上山用了60×3+50=230（分）,由230÷（30+10）=5……30,得到上山休息了5次,走了230-10×5=180（分）.因为下山的速度是上山的1.5倍,所以下山走了180÷1.5=120（分）.由120÷30=40知,下山途中休息了3次,所以下山共用120+5×3=135（分）=2时15分.
5.57.6千米/时.
6.3千米/时.
（480÷16-480÷20）÷2=3（千米/时）.
7.17.5千米/时.
设两码头之间的距离为x千米.由水流速度得
解得x=120（千米）.所以轮船在静水中的速度为120÷6-2.5=17.5（千米/时）.
第25讲 行程问题（二）
本讲重点讲相遇问题和追及问题.在这两个问题中,路程、时间、速度的关系表现为：
在实际问题中,总是已知路程、时间、速度中的两个,求另一个.
例1甲车每小时行40千米,乙车每小时行60千米.两车分别从A,B两地同时出发,相向而行,相遇后3时,甲车到达B地.求A,B两地的距离.
分析与先画示意图如下：
图中C点为相遇地点.因为从C点到B点,甲车行3时,所以C,B两地的距离为40×3=120（千米）.
这120千米乙车行了120÷60=2（时）,说明相遇时两车已各行驶了2时,所以A,B两地的距离是 （40+60）×2=200（千米）.
例2小明每天早晨按时从家出发上学,李大爷每天早晨也定时出门散步,两人相向而行,小明每分钟行60米,李大爷每分钟行40米,他们每天都在同一时刻相遇.有一天小明提前出门,因此比平时早9分钟与李大爷相遇,这天小明比平时提前多少分钟出门?
分析与因为提前9分钟相遇,说明李大爷出门时,小明已经比平时多走了两人9分钟合走的路,即多走了（60+40）×9=900（米）,
所以小明比平时早出门900÷60=15（分）.
例3小刚在铁路旁边沿铁路方向的公路上散步,他散步的速度是2米/秒,这时迎面开来一列火车,从车头到车尾经过他身旁共用18秒.已知火车全长342米,求火车的速度.
分析与
在上图中,A是小刚与火车相遇地点,B是小刚与火车离开地点.由题意知,18秒小刚从A走到B,火车头从A走到C,因为C到B正好是火车的长度,所以18秒小刚与火车共行了342米,推知小刚与火车的速度和是342÷18=19（米/秒）,
从而求出火车的速度为19-2=17（米/秒）.
例4 铁路线旁边有一条沿铁路方向的公路,公路上一辆拖拉机正以20千米/时的速度行驶.这时,一列火车以56千米/时的速度从后面开过来,火车从车头到车尾经过拖拉机身旁用了37秒.求火车的全长.
分析与解
与例3类似,只不过由相向而行的相遇问题变成了同向而行的追及问题.由上图知,37秒火车头从B走到C,拖拉机从B走到A,火车比拖拉机多行一个火车车长的路程.用米作长度单位,用秒作时间单位,求得火车车长为
速度差×追及时间
= [（56000-20000）÷3600]×37
= 370（米）.
例5如右图所示,沿着某单位围墙外面的小路形成一个边长300米的正方形,甲、乙两人分别从两个对角处沿逆时针方向同时出发.已知甲每分走90米,乙每分走70米.问：至少经过多长时间甲才能看到乙?
分析与当甲、乙在同一条边（包括端点）上时甲才能看到乙.甲追上乙一条边,即追上300米需
300÷（90-70）=15（分）,此时甲、乙的距离是一条边长,而甲走了90×15÷300=4.5（条边）,位于某条边的中点,乙位于另一条边的中点,所以甲、乙不在同一条边上,甲看不到乙.甲再走0.5条边就可以看到乙了,即甲走5条边后可以看到乙,共需
例6 猎狗追赶前方30米处的野兔.猎狗步子大,它跑4步的路程兔子要跑7步,但是兔子动作快,猎狗跑3步的时间兔子能跑4步.猎狗至少跑出多远才能追上野兔?
分析与这道题条件比较隐蔽,时间、速度都不明显.为了弄清兔子与猎狗的速度的关系,我们将条件都变换到猎狗跑12步的情形（想想为什么这样变换）：
（1）猎狗跑12步的路程等于兔子跑21步的路程；
（2）猎狗跑12步的时间等于兔子跑16步的时间.
由此知,在猎狗跑12步的这段时间里,猎狗能跑12步,相当于兔子跑
也就是说,猎狗每跑21米,兔子跑16米,猎狗要追上兔子30米需跑21×[30÷（21-16）]=126（米）.
练习25
1.A,B两村相距2800米,小明从A村出发步行5分钟后,小军骑车从B村出发,又经过10分钟两人相遇.已知小军骑车比小明步行每分钟多行130米,小明每分钟步行多少米?
2.甲、乙两车同时从A,B两地相向而行,它们相遇时距A,B两地中心处8千米.已知甲车速度是乙车的1.2倍,求A,B两地的距离.
3.小红和小强同时从家里出发相向而行.小红每分钟走52米,小强每分钟走70米,二人在途中的A处相遇.若小红提前4分钟出发,但速度不变,小强每分钟走90米,则两人仍在A处相遇.小红和小强的家相距多远?
4.一列快车和一列慢车相向而行,快车的车长是280米,慢长的车长是385米.坐在快车上的人看见慢车驶过的时间是11秒,坐在慢车上的人看见快车驶过的时间是多少秒?
5.甲、乙二人同时从A地到B地去.甲骑车每分钟行250米,每行驶10分钟后必休息20分钟；乙不间歇地步行,每分钟行100米,结果在甲即将休息的时刻两人同时到达B地.问：A,B两地相距多远?
6.甲、乙两人从周长为1600米的正方形水池相对的两个顶点同时出发逆时针行走,两人每分钟分别行50米和46米.出发后多长时间两人第一次在同一边上行走?
7.一只猎狗正在追赶前方20米处的兔子,已知狗一跳前进3米,兔子一跳前进2.1米,狗跳3次的时间兔子跳4次.兔子跑出多远将被猎狗追上?
练习25
1.60米.
（2800-130×10）÷（10×2+5）=60（米）.
2.176千米.
3.2196米.
因为小红的速度不变,相遇地点不变,所以小红两次走的时间相同,推知小强第二次比第一次少走4分.由（70×4）÷（90-70）=14（分）,
推知小强第二次走了14分,第一次走了18分,两人的家相距（52+70）×18=2196（米）.
4.8秒.
提示：快车上的人看见慢车的速度与慢车上的人看见快车的速度相同,
（秒）.
5.10000米.
出发后10分钟两人相距（250-100）×10=1500（米）.
米,需要
乙从出发共行了100分钟,所以A,B两地相距100×100=10000（米）.
6.104分.
甲追上乙一条边（400米）需400÷（50-46）=100（分）,
此时甲走了50×100=5000（米）,位于某条边的中点,再走200米到达前面的顶点还需4分,所以出发后100+4=104（分）,两人第一次在同一边上行走.
7.280米.
狗跑3×3=9（米）的时间兔子跑2.1×4=8.4（米）,狗追上兔子时兔子跑了8.4×[20÷（9-8.4）]=280（米）.
第26讲 行程问题（三）
在行程问题中,经常会碰到相遇问题、追及问题、时间路程速度的关系问题等交织在一起的综合问题,这类问题难度较大,往往需要画图帮助搞清各数量之间的关系,并把综合问题分解成几个单一问题,然后逐次求解.
例1 两条公路成十字交叉,甲从十字路口南1800米处向北直行,乙从十字路口处向东直行.甲、乙同时出发12分钟后,两人与十字路口的距离相等；出发后75分钟,两人与十字路口的距离再次相等.此时他们距十字路口多少米?
分析与如左下图所示,出发12分钟后,甲由A点到达B点,乙由O点到达C点,且OB=OC.如果乙改为向南走,那么这个条件相当于“两人相距1800米,12分钟相遇”的相遇问题,所以每分钟两人一共行1800÷12=150（米）.
如右上图所示,出发75分钟后,甲由A点到达E点,乙由O点到达F点,且OE=OF.如果乙改为向北走,那么这个条件相当于“两人相距1800米,75分钟后甲追上乙”的追及问题,所以每分钟两人行走的路程差是1800÷75=24（米）.
再由和差问题,可求出乙每分钟行（150-24）÷2=63（米）,
出发后75分钟距十字路口63×75=4725（米）.
例2 小轿车、面包车和大客车的速度分别为60千米/时、48千米/时和42千米/时,小轿车和大客车从甲地、面包车从乙地同时相向出发,面包车遇到小轿车后30分钟又遇到大客车.问：甲、乙两地相距多远?
分析与如下图所示,面包车与小轿车在A点相遇,此时大客车到达B点,大客车与面包车行BA这段路程共需30分钟.
由大客车与面包车的相遇问题知BA=（48+42）×（30÷60）=45（千米）；
小轿车比大客车多行BA（45千米）需要的时间,由追及问题得到45÷（60-42）=2.5（时）；
在这2.5时中,小轿车与面包车共行甲、乙两地的一个单程,由相遇问题可求出甲、乙两地相距（60+48）×2.5=270（千米）.
由例1、例2看出,将较复杂的综合问题分解为若干个单一问题,可以达到化难为易的目的.
例3 小明放学后,沿某路公共汽车路线以不变速度步行回家,该路公共汽车也以不变速度不停地运行.每隔9分钟就有一辆公共汽车从后面超过他,每隔7分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车.问：该路公共汽车每隔多少分钟发一次车?
分析与这是一道数量关系非常隐蔽的难题,有很多种解法,但大多数解法复杂且不易理解.为了搞清各数量之间的关系,我们对题目条件做适当变形.
假设小明在路上向前行走了63分钟后,立即回头再走63分钟,回到原地.这里取63,是由于[7,9]=63.这时在前63分钟他迎面遇到63÷7=9（辆）车,后63分钟有63÷9=7（辆）车追上他,那么在两个63分钟里他共遇到朝同一方向开来的16辆车,则发车的时间间隔为
例4 甲、乙两人在长为30米的水池里沿直线来回游泳,甲的速度是1米/秒,乙的速度是0.6米/秒,他们同时分别从水池的两端出发,来回共游了11分钟,如果不计转向的时间,那么在这段时间里,他们共相遇了多少次?
分析与甲游一个单程需30÷1=30（秒）,乙游一个单程需30÷0.6=50（秒）.甲游5个单程,乙游3个单程,各自到了不同的两端又重新开始,这个过程的时间是150秒,即2.5分钟,其间,两人相遇了5次（见下图）,实折线与虚折线的交点表示相遇点.
以2.5分钟为一个周期,11分钟包含4个周期零1分钟,而在一个周期中的第1分钟内,从图中看出两人相遇2次,故一共相遇了5×4+2=22（次）.
例4用画图的方法,直观地看出了一个周期内相遇的次数,由此可见画图的重要性.
例5甲、乙两人同时从山脚开始爬山,到达山顶后就立即下山.他们两人下山的速度都是各自上山速度的2倍.甲到山顶时乙距山顶还有400米,甲回到山脚时乙刚好下到半山腰.求从山脚到山顶的距离.
分析与本题的难点在于上山与下山的速度不同,如果能在不改变题意的前提下,变成上山与下山的速度相同,那么问题就可能变得容易些.
如果两人下山的速度与各自上山的速度相同,那么题中“甲回到山脚时
山顶的距离是