Question

已知F(x+y)=F(x)+F(y),求证F(x+y)=F(x)·y

Answer 1

x,y为实数,

对任意正整数n,F(n*x)=F(x)+F((n-1)x)=F(x)+F(x)+F((n-2)x)=……=n*F(x),推出F(nx)=nF(x)；

对任意正整数m,F(x)=F(m*x/m)=m*F(x/m),推出F(x/m)=1/m*F(x)；

于是F(n/m*x)=n/m*F(x)；

令F(x+y)=F(x)+F(y),y=-x,0=F(0)=F(x)+F(-x),推出F(-x)=-F(x)；

于是F(-n/m*x)=-n/m*F(x),

即对任意有理数C,F(Cx)=CF(x).

若C为无理数,存在有理数列Cn,使limCn→C.

对任意实数C,有F(Cx)=CF(x).

对任意实数x,有F(x)=F(1*x)=x*F(1),令F(1)=a,F(x)=ax.

事实上F(xy)=axy.